Có phải gia tốc trọng trường có giá trị như nhau với tất cả mọi vật không?

Tất cả chúng ta đều được dạy rằng khi không có lực cản của không khí thì tất cả mọi vật rơi tự do với cùng một gia tốc không phụ thuộc vào khối lượng của vật rơi. Mặc dù điều này là đúng, với độ chính xác cao, đối với các vật có khối lượng rất nhỏ so với khối lượng trái đất, nó lại không đúng với những vật có khối lượng đáng kể so với khối lượng trái đất.

Khi ta nói về gia tốc của một vật đối với Trái đất là ta đang nói đến gia tốc được đo từ một hệ quy chiếu cố định gắn với Trái đất. Tuy nhiên, Trái đất lại cũng đang chuyển động. Khi quan sát từ một hệ quy chiếu quán tính trong không gian, đứng yên so với các ngôi sao “cố định”, thì cả Trái đất và vật đang bị Trái đất hút đều đang gia tốc hướng về phía nhau. Mà nếu Trái đất cũng đang gia tốc so với hệ quy chiếu gắn với các ngôi sao cố định đó thì Trái đất không còn là một hệ quy chiếu quán tính nữa, và ta phải xét đến các “giả lực” xuất hiện do sự gia tốc của Trái đất so với các ngôi sao.

Nếu gọi m là khối lượng của vật đang bị hút về Trái đất, Me là khối lượng Trái đất, và r là khoảng cách giữa vật và Trái đất, thì trong hệ quy chiếu quán tính gắn với một ngôi sao cố định, gia tốc của Trái đất là Gm/r2 theo một hướng và gia tốc của vật bị hút về Trái đất là GMe/r2 theo hướng ngược lại. Như vậy, trong hệ quy chiếu quán tính này, gia tốc của vật m không phụ thuộc vào khối lượng của nó. Tuy nhiên, trong hệ quy chiếu gắn với Trái đất, gia tốc của vật m này phải là tổng của hai gia tốc: GMe(1 + m/Me)/r2, rõ ràng là phụ thuộc vào khối lượng m của vật bị hút về phía Trái đất.

Sự phụ thuộc vào khối lượng vật m này trở nên đáng kể khi xem xét sự hấp dẫn giữa hai vật thể có khối lượng không quá chênh lệch, mà trường hợp của Trái đất và Mặt trăng là một ví dụ. Nếu dùng công thức thông thường là GMe/r2 để tính gia tốc của Mặt trăng so với Trái đất thay vì dùng công thức chính xác hơn là GMe(1 + m/Me)/r2 thì sai số vào khoảng 1,2%. Sai số này sẽ lớn hơn nhiều nếu ta tính gia tốc của Mặt trời so với Trái đất.

Ý tưởng chính ở đây là gia tốc hấp dẫn của một vật đối với một hệ quy chiếu quán tính không phụ thuộc vào khối lượng của vật đó, nhưng cũng chính gia tốc này khi được đo từ một hệ quy chiếu không quán tính lại phụ thuộc vào khối lượng của vật bị hấp dẫn. Và do đó, gia tốc hấp dẫn g của mọi vật so với Trái đất - một hệ quy chiếu không quán tính - là không bằng nhau.